Techniques of Integration

Integration by formulae
There exist many books that contain extensive lists of integration, differentiation
and other mathematical formulae. For our purpose we will use the
list given below.
1.
Z
af(u)du = a
Z
f(u)du
2.
Z
Xn
i=1
aifi(u)
!
du =
Xn
i=1
Z
aifi(u)du

3.
Z
undu =
un+1
n + 1
+ C, n 6= −1
4.
Z
u−1du = ln |u| + C
5.
Z
eaudu =
e6au
a
+ C
6.
Z
abudu =
abu
b ln a
+ C, a > 0, a 6= 1
7.
Z
ln |u|du = u ln |u| − u + C
267
268 CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION
8.
Z
sin(au)du =
−cos(au)
a
+ C
9.
Z
cos(au)du =
sin(au)
a
+ C
10.
Z
tan(au)du =
ln | sec(au)|
a
+ C
11.
Z
cot(au)du =
ln | sin(au)|
a
+ C
12.
Z
sec(au)du =
ln | sec(au) + tan(au)|
a
+ C
13.
Z
csc(au)du =
ln | csc(au) − cot(au)|
a
+ C
14.
Z
sinh(au)du =
cosh(au)
a
+ C
15.
Z
cosh(au)du =
sinh(au)
a
+ C
16.
Z
tanh(au)du =
ln | cosh(au)|
a
+ C
17.
Z
coth(au)du =
ln | sinh(au)|
a
+ C
18.
Z
sech (au)du =
2
a
arctan(eau) + C
19.
Z
csch (au) du =
2
a
arctanh (eau) + C
20.
Z
sin2(au)du =
u
2
−
sin(au) cos(au)
2a
+ C
21.
Z
cos2(au)du =
u
2
+
sin(au) cos(au)
2a
+ C
22.
Z
tan2(au)du =
tan(au)
a
− u + C
6.1. INTEGRATION BY FORMULAE 269
23.
Z
cot2(au)du = −
cot(au)
a
− u + C
24.
Z
sec2(au)du =
tan(au)
a
+ C
25.
Z
csc2(au)du = −
cot(au)
a
+ C
26.
Z
sinh2(au)du = −
u
2
+
sinh(2au)
4a
+ C
27.
Z
cosh2(au)du =
u
2
+
sinh(2au)
4a
+ C
28.
Z
tanh2(au)du = u −
tanh(au)
a
+ C
29.
Z
coth2(au)du = u −
coth(au)
a
+ C
30.
Z
sech 2(au)du =
tanh(au)
a
+ C
31.
Z
csch 2(au)du =
−coth(au)
a
+ C
32.
Z
sec(au) tan(au)du =
sec(au)
a
+ C
33.
Z
csc(au) cot(au)du = −
csc(au)
a
+ C
34.
Z
sech (au) tanh(au)du = −
sech (au)
a
+ C
35.
Z
csch (au) coth(au)du = −
csch (au)
a
+ C
36.
Z
du
a2 + u2 =
1
a
arctan
u
a

+ C
37.
Z
du
a2 − u2 =
1
a
arctanh
u
a

+ C =
1
2a
ln

a + u
a − u

+ C
270 CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION
38.
Z
du
p
a2 + u2
= arcsinh
u
a

+ C
39.
Z
du
p
a2 − u2
= arcsin
u
a

+ C, |a| > |u|
40.
Z
du
p
u2 − a2
= arccosh
u
a

+ C, |u| > |a|
41.
Z
du
u
p
u2 − a2
=
1
a
arcsec
u
a

+ C, |u| > |a|
42.
Z
du
u
p
a2 − u2
= −
1
a
arcsech
u
a

+ C, |a| > |u|
43.
Z
du
u
p
a2 + u2
= −
1
a
arccsch
u
a

+ C
44.
Z
u du
p
a2 + u2
=
p
a2 + u2 + C
45.
Z
u du
a2 − u2 = −ln
p
a2 − u2 + C, |a| > |u|
46.
Z
u du
p
a2 + u2
=
p
a2 + u2 + C
47.
Z
u du
p
a2 − u2
= −
p
a2 − u2 + C, |a| > |u|
48.
Z
u du
p
u2 − a2
=
p
u2 − a2 + C, |u| > |a|
49.
Z
arcsin(au)du = u arcsin(au) +
1
a
p
1 − a2u2 + C, |a||u| < 1
50.
Z
arccos(au)du = u arccos(au) −
1
a
p
1 − a2u2 + C, |a||u| < 1
51.
Z
arctan(au)du = u arctan(au) −
1
2a
ln(1 + a2u2) + C
52.
Z
arccot (au)du = uarccot (au) +
1
2a
ln(1 + a2u2) + C
6.1. INTEGRATION BY FORMULAE 271
53.
Z
arcsec (au)du = uarcsec (au) −
1
a
ln

au +
p
a2u2 − 1

+ C, au > 1
54.
Z
arccsc (au)du = uarccsc (au) +
1
a
ln

au +
p
a2u2 − 1

+ C, au > 1
55.
Z
arcsinh (au)du = uarcsinh (au) −
1
a
p
1 + a2u2 + C
56.
Z
arccosh (au)du = uarccosh (au) −
1
a
p
−1 + a2u2 + C, |a||u| > 1
57.
Z
arctanh (au)du = uarctanh (au) +
1
2a
ln(−1 + a2u2) + C, |a||u| 6= 1
58.
Z
arccoth (au)du = uarccoth (au) +
1
2a
ln(−1 + a2u2) + C, |a||u| 6= 1
59.
Z
arcsech (au)du = uarcsech (au) +
1
a
arcsin(au) + C, |a||u| < 1
60.
Z
arccsch (au)du = uarccsch (au) +
1
a
ln

au +
p
a2u2 + 1

+ C
61.
Z
eau sin(bu)du =
eau[a sin(bu) − b cos(bu)]
a2 + b2 + C
62.
Z
eau cos(bu)du =
eau[a cos(bu) + b sin(bu)]
a2 + b2 + C
63.
Z
sinn(u)du =
−1
n

sinn−1(u) cos(u)

+
n − 1
n
Z
sinn−2(u)du
64.
Z
cosn(u)du =
1
n

cosn−1(u) sin(u)

+
n − 1
n
Z
cosn−2(u)du
65.
Z
tann(u)du =
tann−1(u)
n − 1
−
Z
tann−2(u)du
66.
Z
cotn(u)du = −
cotn−1(u)
n − 1
−
Z
cotn−2(u)du
67.
Z
secn(u)du =
1
n − 1

secn−2(u) tan(u)

+
n − 2
n − 1
Z
secn−2(u)du
272 CHAPTER 6. TECHNIQUES OF INTEGRATION
68.
Z
cscn(u)du =
−1
n − 1

cscn−2(u) cot(u)

+
n − 2
n − 1
Z
cscn−2(u)du
69.
Z
sin(mu)sin(nu)du =
sin[(m − n)u]
2(m − n)
−
sin[(m + n)u]
2(m + n)
+ C, m2 6= n2
70.
Z
cos(mu) cos(nu)du =
sin[(m − n)u]
2(m − n)
+
sin[(m + n)u]
2(m + n)
+ C, m2 6= n2
71.
Z
sin(mu) cos(nu)du =
cos[(m − n)u]
2(m − n)
−
cos[(m + n)u]
2(m + n)
+ C, m2 6= n2